数学分析 (三选二)

1. 计算 $$\bex \int \frac{1}{1+\sin x}\rd x,\quad \iint_{x^2+4y^2\leq 2x} \sqrt{1-x^2-4y^2}\rd x\rd y. \eex$$

2. 设 $\sed{a_n}$ 为单调递增正数列, 试证: $$\bex \vsm{n}\sex{\frac{a_{n+1}}{a_n}-1}\mbox{ 收敛 }\lra \sed{a_n} \mbox{ 有界}. \eex$$

3.

(1). 对任给的实数 $x$ 及正整数 $N>1$, 存在整数 $p,q:\ 0<q<N$, 使得 $$\bex |qx-p|<\frac{1}{N}. \eex$$

(2). 若 $x$ 为无理数, 则存在无穷多个有理数 $p/q\ (q>0)$, 使得 $$\bex \sev{x-\frac{p}{q}}<\frac{1}{q^2}. \eex$$

线性代数 (三选二)

1. 设 $V$ 是一个有限维线性空间, $U,W$ 均为 $V$ 的子空间. 试证: 存在 $V$ 的一组基 $B$, 使得 $B\cap W$ 为 $W$ 的一组基, $B\cap U$ 为 $U$ 的一组基.

2. 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 且不可对角化. 试证: 存在方阵 $B$ 使得 $$\bex AB=BA,\quad B^n=0. \eex$$

3. 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, 且有 $n$ 个两两不同的特征值, 对于 $$\bex \ba{rl} \scrA:\ M_n(\bbC)&\to M_n(\bbC)\\ X&\mapsto AX-XA, \ea \eex$$ 试证: $\scrA$ 可对角化, 并求 $\scrA$ 的秩.

复变函数 (三选二)

1. 设 $n\in\bbN^+$, 试求 $$\bex \frac{\p |z|^n}{\p \bar z}. \eex$$

2. 证明或否定: $$\bex \frac{\sin z}{z^p} \eex$$ 在 $\bbC\bs\sed{0}$ 上有原函数 $\lra p$ 为奇数.

3. 证明或否定: $$\bex \vsm{n}\sin (z^n) \eex$$ 在单位圆内绝对且内闭一致收敛.